解：（1）由
，得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域M=（-1，1）．???????????????…（3分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x），则a=0时，h（x）=
．
又
=
（仅在x=0时，h'（x）=0）
∴h（x）在M=（-1，1）内是增函数，…（6分）∴当-1＜x＜0时，h（x）＜h（0）=0，f（x）＜g（x）；
当x=0时，h（x）=h（0）=0，f（x）=g（x）；当0＜x＜1时，h（x）＞h（0）=0，f（x）＞g（x）．?????…（8分）
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．
因为h（x）=
，所以
=
①当a＜0时，
，x2＜1，所以h'（x）═
（仅在x=0时，h'（x）=0）h（x）在M=（-1，1）内是增函数，
又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点；???????????????????????????????…（9分）
②当a=0时，由（2）知h（x）有唯一零点；????????????…（10分）
③当
时，
，0≤x2＜1h'（x）═
（仅在x=0时，h'（x）=0）
所以h（x）在M=（-1，1）内是增函数，又h（0）=0，所以h（x）有唯一零点；????????????????????…（11分）
④当
时，
，h'（x）=
，或
时，h'（x）＞0，h（x）递增，
时，h'（x）＜0，h（x）递减．
，
；
x→-1+时，h（x）→-∞；??x→1-时，h（x）→+∞，
∴h（x）在区间
，
及
内各有一个零点．
…（13分）
综上，当
时，方程f（x）=g（x）有唯一解；
当
时，方程f（x）=g（x）有三个解．???????…（14分）解析分析：（1）由题意，真数大于0，可得不等式，从而确定函数f（x）的定义域M；（2）a=0时，h（x）=
．求导函数可知h（x）在M=（-1，1）内是增函数，从而可解；（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数，即讨论h（x）=f（x）-g（x）零点的个数．由于
=
，故对a进行讨论，从而确定函数的零点．点评：本题主要考查函数的定义域，考查利用单调性比较大小，利用导数研究函数零点问题，有一定的难度．
，g（x）=x+ax3，a为常数．
