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提问 

解答题在平面直角坐标系上,设不等式组(n∈N*)表示的平面区域为Dn,记Dn内的整点(


时间: 2015-4-23 分类: 作业习题  【来自ip: 12.112.119.73 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 在平面直角坐标系上,设不等式组数学公式(n∈N*)表示的平面区域为Dn,记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.
(1)求出a1,a2,a3的值(不要求写过程);
(2)证明数列{an}为等差数列;
(3)令bn=数学公式(n∈N*),求b1+b2+…+bn.

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1楼
(1)解:根据题意,由x>0,y≥0,-2n(x-3)≥y≥0得0<x≤3,所以平面区域为Dn内的整点为点(3,0)与在直线x=1和x=2上,从而可得a1=9,a2=15,a3=21????????????????????…(3分)
(2)证明:由于平面区域为Dn内的整点为点(3,0)与在直线x=1和x=2上,…(5分)
∴直线y=-2n(x-3)与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y1=4n和y2=2n…(6分)
∴Dn内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1,
∴an=4n+1+2n+1+1=6n+3??????????????…(7分)
∴an+1-an=(6n+0)-(6n+3)=6?????????????????…(8分)
∴数列{an}是以9为首项,6为公差等差数列..…(9分)
(3)解:∵bn=数学公式=数学公式????????????????…(10分)
∴b1+b2+…+bn=数学公式+(数学公式)+…+数学公式]
=数学公式=数学公式?…(14分)解析分析:(1)由x>0,y≥0,-2n(x-3)≥y≥0得0<x≤3,所以平面区域为Dn内的整点为点(3,0)与在直线x=1和x=2上,从而可得结论;(2)由于平面区域为Dn内的整点为点(3,0)与在直线x=1和x=2上,可得直线y=-2n(x-3)与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y1=4n和y2=2n,从而Dn内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1,由此可数列的通项,进而可得数列{an}是等差数列;(3)利用裂项法可求数列的和.点评:本题考查数列的性质和应用,考查裂项法求数列的和,考查学生分析解决问题的能力.
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