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提问 

解答题已知函数.(1)求f(x)的值域;(2)设a≠0,函数,x∈[0,2].若对任意


时间: 2015-4-23 分类: 作业习题  【来自ip: 12.131.193.48 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 已知函数数学公式
(1)求f(x)的值域;
(2)设a≠0,函数数学公式,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.

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1楼
解:(1)对函数f(x)求导,数学公式
令f'(x)=0得x=1或x=-1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,2)时,f'(x)<0,f(x)在(1,2)上单调递减.
数学公式
所以当x∈[0,2],f(x)的值域是数学公式
(2)设函数g(x)在[0,2]上的值域是A.
∵对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,
数学公式
对函数g(x)求导,g'(x)=ax2-a2.
?①当a<0时,若x∈(0,2),g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,2)上单调递减.
数学公式
∴当x∈[0,2]时,不满足数学公式
?②当a>0时,数学公式
令g'(x)=0,得数学公式数学公式(舍去).
(i)当x∈[0,2],数学公式时,列表:

数学公式
又∵数学公式,∴数学公式,解得数学公式
(ii)当x∈(0,2),数学公式时,g'(x)<0,∴函数在(0,2)上单调递减,
∵g(0)=0,∴数学公式∴当x∈[0,2]时,不满足数学公式
综上,实数a的取值范围是数学公式.解析分析:(1)求出f(x)的导函数,令导函数等于求出x的值,然后由x的值,分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到f(x)的值域;(2)设函数g(x)在[0,2]上的值域是A,根据题意对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0,得到区间[0,2]是A的子集,求出g(x)的导函数,分a小于0和a大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值,即可得到函数在相应区间的值域,根据区间[0,2]是A的子集判断出符合这一条件的情况,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到满足题意a的取值范围.点评:此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函数的极值,灵活运用分类讨论的数学思想,会利用导数求函数的值域,是一道综合题.
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