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心情不好的说说
解答题已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是R上的奇函数.(1)求a的值;(
时间: 2015-4-23 分类:
作业习题
【来自ip: 15.13.155.223 的 热心网友 咨询】
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问题补充
:
解答题 已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数,求实数λ的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求实数t的取值范围.
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1楼
解:(1)∵函数f(x)=ln(ex+a)是实数集R上的奇函数,∴f(0)=0所以a=0.…(3分)
(2)g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数g′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立
∴λ≤-cosx.…(5分)
又∵cosx∈[cos1,1],∴-cosx∈[-1,-cos1].∴λ≤-1.…(8分)
(3)∵g(x)在区间[-1,1]上单调递减,∴g(x)max=g(-1)=-λ-sin1.
只需-λ-sin1≤t2+λt+1.∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0,其中λ≤-1恒成立.…(10分)
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1,
则
∴
而t2-t+sin1≥0恒成立,
∴t≤-1.…(13分)解析分析:(1)直接根据函数f(x)=ln(ex+a)是实数集R上的奇函数,则f(0)=0解之即可求出a的取值;(2)利用g′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立得出λ≤-cosx再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围;(3)先利用函数g(x)在[-1,1]上单调递减,求出其最大值,再把g(x)≤t2-λt+1在x∈[-1,1]上恒成立转化为其最大值小于等于t2-λt+1恒成立,进而得到(1-t)λ+t2+sin1+1≥0(其中λ≤-1)恒成立,再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围.点评:本题主要考查函数单调性和奇偶性以及函数恒成立问题,同时考查了等价转化的思想,属于中档题.
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