解：（1）∵
，其定义域为（0，+∞），
∴
． （3分）
∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）=0，即3-a2=0．
∵a＞0，∴
． （6分）
经检验当
时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴
． （8分）
（2）由题意，可知方程
在区间[e，e2]上有根，因为
在[e，e2]上是单调减函数，lnx在[e，e2]上是单调增函数，（10分）
所以，
（14分）∴
（16分）
（3）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max． （7分）
当x∈[1，e]时，
．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（e）=e+1．（9分）
∵
，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，
，
∴函数
在[1，e]上是增函数，
∴[f（x）]min=f（1）=1+a2．
由1+a2≥e+1，得a≥
，
又0＜a＜1，∴a不合题意． （11分）
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则
，
若a＜x≤e，则
．
∴函数
在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥
，
又1≤a≤e，∴
≤a≤e． （13分）
③当a＞e且x∈[1，e]时，
，
∴函数
在[1，e]上是减函数．
∴
．
由
≥e+1，得a≥
，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
综上所述，a的取值范围为
． （16分）解析分析：（1）先函数h（x）的定义域，在对h（x）求导，由题意可知h′（1）=0，求出a的值（2）φ（x）=f（x）-g（x）=
在[e，e2]存在零点，转化为
，令
，结合两函数在区间上的单调性可知
，从而求出结果．（3）若对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立?f（x1）min≥g（x2）max，从而转化为分别求函数f（x），g（x）在[1，e]的最小值、最大值点评：本题综合考查了极值存在的性质及零点判定定理的运用，函数的恒成立问题，解决此类问题常把问题进行转化，体现了转化的思想、方程与函数的思想的运用．属于中等难度的试题．
