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解答题已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d,当x=-3和x=1时,f(x)取得极值
时间: 2015-4-23 分类:
作业习题
【来自ip: 14.16.126.100 的 热心网友 咨询】
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问题补充
:
解答题 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d,当x=-3和x=1时,f(x)取得极值.
(1)求b,c的值;
(2)若对任意x∈[-4,2],都有f(x)≥-6d2成立,试求d的取值范围.
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1楼
解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c,(2分)
∵当x=-3和x=1时,f(x)取得极值.∴f′(3)=0,f′(1)=0,(4分)
,解得,b=3,c=-9.(6分)
(2)由(1)知f(x)=x3+3x2-9x+d,
f′(x)=3x2+6x-9? f′(x)>0,3x2+6x-9>0,解得 x<-3或x>1,
∵x∈[-4,2]∴f(x)的增减区间、极值、端点值情况如下表:
x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,2)2f′(x)+0-0+f(x)20+d递增极大值27+d递减极小值d-5递增2+d对任x∈[-4,2],都有f(x)≥-6d2成立,只需f(x)在[-4,2]上的最小值f(x)min≥-6d2.
∴d的取值应满
(12分)
解不等式组得,d≤-1或d≥
,
∴d的取值范围是(-∞,-1)∪[
,+∞)(14分)解析分析:(1)若函数f(x)在一点取极值,则函数在此点的导数值为0,且在两侧的导数值符号相反.(2)若在此区间上不等式恒成立,只需要最小值大于-6d2即可.利用导数确定函数的单调性,并利用单调性确定在此区间上的最小值.∈点评:利用导数确定函数的单调性,利用单调性解决最值问题.注意在极值的两侧导数的符号是相反的.
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