解答题已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（I?）求g（x）=的单调区间与极大

（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．
则有==ln（x+1）-x，
此函数的定义域为（-1，+∞）．
．
故当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．
所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），
故g（x）的极大值是g（0）=0；
（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，
所以，
于是=
=，
令（t＞1），则，
因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．
令s（t）=lnt-t+1，则，
∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，
于是h（t）＜0，即lnx0＜lnx2，故x0＜x2．
同理可证x1＜x0，故x1＜x0＜x2．
（Ⅲ）证明：因为a1=1，，所以{an}单调递增，an≥1．
于是=，
所以（*）．
由（Ⅰ）知当x＞0时，ln（1+x）＜x．
所以（*）式变为．
即（k∈N，k≥2），
令k=2，3，…，n，这n-1个式子相加得


=
=
=．
即，
所以．解析分析：（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），对函数g（x）求导后利用导函数的符号求出函数g（x）在定义域内的单调区间，从而求出函数的极大值；（Ⅱ）求出f′（x0），代入f′（x0）=后把lnx0用lnx1，lnx2表示，再把lnx0与lnx2作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最大值小于0，从而得到lnx0＜lnx2，运用同样的办法得到lnx1＜lnx0，最后得到要证的结论；（Ⅲ）由给出的递推式an+1=（1+）an+说明数列{an}是递增数列，根据a1=1，得到an≥1，由此把递推式an+1=（1+）an+放大得到，结合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到，分别取n=1，2，3，…，n-1，得到n个式子后累加即可证得结论．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了通过构造函数，利用函数的单调性和极值证明不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用放缩法证明不等式，是一道难度较大的综合题型．