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提问 

解答题在边长为a的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,现沿AE、AF、EF


时间: 2015-4-22 分类: 作业习题  【来自ip: 18.11.184.100 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 在边长为a的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥B-AEF,如图所示.
(Ⅰ)在三棱锥B-AEF中,求证:AB⊥EF;
(Ⅱ)求四棱锥E-AMNF的体积.

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1楼
(I)证明:在三棱锥B-AEF中,
因为AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,
所以AB⊥平面BEF.…..(3分)
又EF?平面BEF,
所以AB⊥EF.…..(6分)
(II)解:因为在△ABF中,M、N分别为AB、BF的中点,
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的数学公式.…..(8分)
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等,
所以,四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的数学公式
因为VE-ABF=VA-BEF,
所以数学公式.…..(10分)
因为数学公式
所以数学公式
故四棱锥E-AMNF的体积为数学公式.…..(13分)解析分析:(I)在三棱锥B-AEF中,因为AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,所以AB⊥平面BEF.由此能够证明AB⊥EF.(II)因为在△ABF中,M、N分别为AB、BF的中点,所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的数学公式.因为三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等,所以,四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的数学公式,因为VE-ABF=VA-BEF,所以数学公式.由此能够求出四棱锥E-AMNF的体积.点评:本题考查在三棱锥B-AEF中,求证AB⊥EF,求四棱锥E-AMNF的体积.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
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