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解答题已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)(1)若函数f(x)在x=0,x
时间: 2015-4-22 分类:
作业习题
【来自ip: 16.141.197.11 的 热心网友 咨询】
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问题补充
:
解答题 已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,且极小值为-2,求a,b的值.
(2)若x∈[0,1],函数f(x)在图象上任意一点的切线的斜率为k,求k≤1恒成立时a的取值范围.
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1楼
解:(1)由f'(x)=3x2+2ax得x=0或
∴
得a=-3.…(3分)
当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时f'(x)>0
故当x=2时f(x)取得极小值,f(2)=8+4a+b=-2
所以b=2…(6分)
(2)当x∈[0,1],k=f'(x)=3x2+2ax≤1恒成立,
即令g(x)=3x2+2ax-1≤0对一切x∈[0,1]恒成立,…(9分)
只需
即a≤-1
所以a的取值范围为(-∞,-1].…(12分)解析分析:(1)通过求函数的导数,函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,就是x=0,x=2时导数为0,求出a,利用极小值为-2,求出b;(2)由(1)可得f(x)的解析式.x∈[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,k≤1恒成立,就是导函数的值域≤1恒成立,再用二次函数根与系数的关系,求实数a的取值范围.点评:本题主要考查函数、导数的基本知识以及不等式的恒成立问题,同时考查学生的逻辑推理能力和灵活应用知识的能力.
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