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提问 

解答题如图,已知椭圆C:与抛物线E:y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线在第一象限的


时间: 2015-4-19 分类: 作业习题  【来自ip: 10.153.147.215 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 如图,已知椭圆C:数学公式与抛物线E:y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为数学公式
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx与抛物线E的交点为O,Q,与椭圆c的交点为M,N(N在线段OQ上),且|MO|=|NQ|.?问满足条件的直线l有几条,说明理由.

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1楼
解:(1)∵抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),∴椭圆的焦点坐标为(±1,0).
由点P在抛物线y2=4x上,所以P(数学公式数学公式).
又点P在椭圆C上,所以2a=4,所以a=2,
又c=1,故b=数学公式=数学公式,从而椭圆C的方程为数学公式?????(5分)
(2)联立直线与椭圆方程得数学公式,消去y可得3x2+4k2x2=12,∴数学公式.(7分)
联立直线与抛物线得数学公式,消去y可得k2x2=4x,解得x=0或x=数学公式????????(9分)
∵|MO|=|NQ|,∴N为线段OQ的中点,∴数学公式=数学公式
化简得3k4-4k2-3=0,解得k2=数学公式(负值舍去),故满足题意的k值有2个.
从而存在过原点O的两条直线l满足题意.(12分)解析分析:(1)确定椭圆的焦点坐标,点P的坐标,利用点P在椭圆C上,求得a的值,根据c=1,b=数学公式,即可求得椭圆C的方程;(2)联立直线与椭圆方程,可求M的坐标,联立直线与抛物线,可求Q的坐标,根据|MO|=|NQ|,可得N为线段OQ的中点,从而可建立方程,由此可得结论.点评:本题考查抛物线的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,属于中档题.
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