解:因为这个三棱锥是正三棱锥,
所以△ABC是正三角形,
且DC所在直线与△ABC所在平面垂直
如图,作△ABC的高CE,连接DE
由三垂线定理,知DE⊥AB,所以
∠DEC是二面角α-AB-β的平面角,∠DEC=30°
CE=

用S截表示△ABD的面积,
则32=S截=

,
∴AB=8.
用S底表示△ABC的面积,则
S底=

.
∵∠DEC=30°,所以DC=4,
∴V三棱锥=

S底?DC=

.解析分析:作△ABC的高CE,连接DE,利用截面三角形ABD的面积为32cm2,求出底面棱长,三棱锥的高CD,求出底面面积,再求它的体积.点评:本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查逻辑思维能力,计算能力,是基础题.