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提问 

解答题设函数f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f′(x)表示f(x)导函


时间: 2015-4-18 分类: 作业习题  【来自ip: 11.17.165.230 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 设函数f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*),f′(x)表示f(x)导函数.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当k为偶数时,数列{an}满足a1=1,数学公式.证明:数列{数学公式}中不存在成等差数列的三项;
(Ⅲ)当k为奇数时,设数学公式,数列{bn}的前n项和为Sn,证明不等式数学公式?对一切正整数n均成立,并比较S2012-1与ln2012的大小.

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1楼
解:(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),又f′(x)=2x-2(-1)k 数学公式=数学公式
1°当k 为奇数时,f′(x)=数学公式,∵x∈(0,+∞),∴f′(x)>0恒成立;
2°当k 为偶数时,f′(x)=数学公式,∵x+1>0,∴f′(x)>0得x>1,即f(x)的单调增区间为(1,+∞),
综上所述,当k 为奇数时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当k 为偶数时,即f(x)的单调增区间为(1,+∞),
(Ⅱ)当k 为偶数时,由(1)知f′(x)=2x-数学公式,∴f′(an)=2an-数学公式
由条件得:2(an2-1)=a n+1 2-3,故有:an+1 2+1=2(an 2+1),
∴{an 2+1}是一个公比为2的等比数列,∴an2=2n-1,
假设数列{an2}中的存在三项ar 2,s 2,at 2,能构成等差数列
不妨设r<s<t,则2as 2=a?r 2+at 2,
即2(2s-1)=2r-1+2t-1,∴2 s-r+1=1+2 t-r,
又s-r+1>0,t-r>0,∴2 s-r+1为偶数,1+2 t-r为奇数,故假设不成立,
因此,数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列;
(Ⅲ)?当k为奇数时,f′(x)=2(x+数学公式),
∴bn=数学公式f′(n)-n=数学公式,Sn=1+数学公式+数学公式+…+数学公式
要证(1+bn)数学公式>e,即证(1+数学公式)n+1>e,两边取对数,
即证ln(1+数学公式)>数学公式(10分)
设1+数学公式=t,则n=数学公式
lnt>1-数学公式(t>1),构造函数g(t)=lnt+数学公式-1,
∵x>1,∴g′(t)=数学公式>0
∴g(t)在(1,+∞)上是增函数,g(t)>g(1)>0
即lnt>1-数学公式,∴(1+bn)数学公式>e,
S2012-1=(1+数学公式+数学公式+…+数学公式)-1=数学公式+数学公式+…+数学公式
∵ln(1+数学公式)>数学公式,∴数学公式+数学公式+…+数学公式<ln2+ln(1+数学公式)+…+ln(1+数学公式)=ln2+ln数学公式+…+ln数学公式
=ln(2×数学公式×…×数学公式)=ln2012,
数学公式+数学公式+…+数学公式<ln2012,解析分析:(I)先求函数f(x)的导数,f′(x),再对k进行奇偶数讨论:1°当k 为奇数时;2°当k 为偶数时;分别得出导数值为正或负时的x的取值集合,最后综合即可;(II)当k 为偶数时,由(1)知f′(x),由条件得{an 2+1}是一个公比为2的等比数列,从而得到an2=2n-1,最后利用反证法进行证明即可;(Ⅲ)?当k为奇数时,f′(x)=2(x+数学公式),要证(1+bn)数学公式>e,即证(1+数学公式)n+1>e,两边取对数,即证ln(1+数学公式)>数学公式,设1+数学公式=t,构造函数g(t)=lnt+数学公式-1,利用导数工具研究其单调性即可证得lnt>1-数学公式,最后利用累乘法即可证出S2012-1<ln2012.点评:本小题主要考查等差关系的确定、利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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