解：（1）∵F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），（1分）
∴
，（3分）
∴x＞1时F'（x）＞0，x=1时F'（x）=0；
∴函数F（x）在[1，+∞）上为增函数．（5分）
（2）由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴
（﹡）（9分）
令
，
∵0＜a＜b，
∴
，（11分）
∴由（﹡）式得
，
即为
；（13分）
∵函数f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域为[lna，lnb]，
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度为lnb-lna，（15分）
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于
．（16分）解析分析：（1）先得到F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），由于不是基本函数，所以用导数法证明其单调性．（2）本题即证明不等式即为
成立，由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，可知F（x）＞0即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，变形可得
，令
构造不等式即可．点评：本题主要考查函数的单调性的证明及应用，同时，还考查了构造和转化思想，属于难题．
