解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

(1)∵

,
∴由PQ⊥QD得

∵x∈[0,2],
a2=x(2-x)∈(0,1]
∴在所给数据中,
a可取

和a=1两个值.
(2)由(1)知a=1,
此时x=1,即Q为BC中点,
∴点Q的坐标为(1,1,0)
从而

,
又

为平面ADP的一个法向量,
∴

,
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为

.
(3)由(1)知

,
此时

,
即满足条件的点Q有两个,
其坐标为

∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
由

,
得∠Q1AQ2=30?,
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.

解析分析:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

(1)

,由PQ⊥QD得

,由此能求出a的可能取值.(2)a=1时,x=1,点Q的坐标为(1,1,0),从而

,又

为平面ADP的一个法向量,所以

,由此能求出直线PQ与平面ADP所成角的正切值.(3)

时,

,即满足条件的点Q有两个,其坐标为

.由PA⊥平面ABCD,知PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,所以∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由

,知二面角Q1-PA-Q2的大小为30.点评:本题考查空间角的求法,解题时要认真审题,恰当地建立空间直角坐标系,注意向量法的合理运用.