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提问 

解答题如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有


时间: 2015-4-15 分类: 作业习题  【来自ip: 18.166.120.81 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①数学公式;②a=1;③数学公式;④a=2;⑤a=4.
(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值,请说明理由;
(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;
(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个,试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小.

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1楼
解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

(1)∵数学公式
∴由PQ⊥QD得数学公式
∵x∈[0,2],
a2=x(2-x)∈(0,1]
∴在所给数据中,
a可取数学公式和a=1两个值.
(2)由(1)知a=1,
此时x=1,即Q为BC中点,
∴点Q的坐标为(1,1,0)
从而数学公式
数学公式为平面ADP的一个法向量,
数学公式
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为数学公式
(3)由(1)知数学公式
此时数学公式
即满足条件的点Q有两个,
其坐标为数学公式
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
数学公式
得∠Q1AQ2=30?,
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.
解析分析:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)(1)数学公式,由PQ⊥QD得数学公式,由此能求出a的可能取值.(2)a=1时,x=1,点Q的坐标为(1,1,0),从而数学公式,又数学公式为平面ADP的一个法向量,所以数学公式,由此能求出直线PQ与平面ADP所成角的正切值.(3)数学公式时,数学公式,即满足条件的点Q有两个,其坐标为数学公式.由PA⊥平面ABCD,知PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,所以∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由数学公式,知二面角Q1-PA-Q2的大小为30.点评:本题考查空间角的求法,解题时要认真审题,恰当地建立空间直角坐标系,注意向量法的合理运用.
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