解:(1)由题意可得 ak(x)=

?

,k=1、2、3,…n+1,
故a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为

=1,

?

=

,


=

.
再由2×

=1+

,解得 n=8.
(2)∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x)
=

+2

?(

)+3

?

+(n+1)

?

,
∴F(2)=

+2

+3

+…+(n+1)

.
设Sn=

+2

+3

+…+(n+1)

,则有Sn=(n+1)

+n

+…+3

+2

+

.
把以上2个式子相加,并利用

=

?可得 2Sn=(n+2)[

+

+

+…+

]=(n+2)?2n-1,
∴Sn=(n+2)?2n-2.
当x∈[0,2]时,由于F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函数,故对任意x1,x2∈[0,2],
恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1,命题得证.解析分析:(1)由题意可得 ak(x)=

?

,求得a1(x),a2(x),a3(x)的系数,根据前三项的系数成等差数列求得n的值.(2)由F(x)的解析式求得 F(2)═

+2

+3

+…+(n+1)

,设Sn=

+2

+3

+…+(n+1)

,利用二项式系数的性质求得Sn=(n+2)?2n-2.再利用导数可得F(x)在[0,2]上是增函数可得对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1.点评:本题主要考查等差数列的性质,二项式定理的应用,二项式系数的性质,利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求函数的值域,属于中档题.