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提问 

解答题已知(1+)n展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x)…an(x)


时间: 2015-4-11 分类: 作业习题  【来自ip: 10.178.13.81 的 热心网友 咨询】 手机版
 问题补充 解答题 已知(1+数学公式)n展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x)…an(x),an+1(x).设F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x).
(1)若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列,求n的值;
(2)求证:对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-1.

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1楼
解:(1)由题意可得 ak(x)=数学公式?数学公式,k=1、2、3,…n+1,
故a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为 数学公式=1,数学公式?数学公式=数学公式数学公式数学公式=数学公式
再由2×数学公式=1+数学公式,解得 n=8.
(2)∵F(x)=a1(x)+2a2(x)+2a2(x)+3a3(x)…+nan(x)+(n+1)an+1(x)
=数学公式+2数学公式?(数学公式)+3数学公式?数学公式+(n+1)数学公式?数学公式
∴F(2)=数学公式+2数学公式+3数学公式+…+(n+1)数学公式
设Sn=数学公式+2数学公式+3数学公式+…+(n+1)数学公式,则有Sn=(n+1)数学公式+n数学公式+…+3数学公式+2数学公式+数学公式
把以上2个式子相加,并利用数学公式=数学公式?可得 2Sn=(n+2)[数学公式+数学公式+数学公式+…+数学公式]=(n+2)?2n-1,
∴Sn=(n+2)?2n-2.
当x∈[0,2]时,由于F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函数,故对任意x1,x2∈[0,2],
恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1,命题得证.解析分析:(1)由题意可得 ak(x)=数学公式?数学公式,求得a1(x),a2(x),a3(x)的系数,根据前三项的系数成等差数列求得n的值.(2)由F(x)的解析式求得 F(2)═数学公式+2数学公式+3数学公式+…+(n+1)数学公式,设Sn=数学公式+2数学公式+3数学公式+…+(n+1)数学公式,利用二项式系数的性质求得Sn=(n+2)?2n-2.再利用导数可得F(x)在[0,2]上是增函数可得对任意x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)-F(x2)|≤F(2)-F(0)=2n-1(n+2)-1.点评:本题主要考查等差数列的性质,二项式定理的应用,二项式系数的性质,利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性求函数的值域,属于中档题.
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