(本小题13分)
解:∵f(x)=sin2x+

sinxcosx+1
=

+

sin2x+1
=

sin2x-

cos2x+

…(2分)
(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期
T=

=π…(3分)
令2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

?kπ-

≤x≤kπ+

,
即函数f(x)的单调递增区间为[kπ-

,kπ+

](k∈Z).…(5分)
(Ⅱ)∵x∈[0,

],
∴2x-

∈[-

,

],
∴sin(2x-

)∈[-

,1],
所以函数f(x)的最小值为1,最大值为

…(9分)
(Ⅲ)令2x-

=kπ,x=

+

(k∈Z),
即函数图象对称中心为(

+

,

)k=0时距原点最近,则满足条件的|

|=(-

,-

)…(13分)解析分析:(Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换将f(x)=sin2x+

sinxcosx+1化简为:f(x)=sin(2x-

)+

,利用正弦函数的性质即可求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)利用正弦函数的单调性质可求得f(x)的最大值和最小值;(Ⅲ)由前两问可知,2x-

=kπ时,f(x)为奇函数,从而可求得其对称中心,继而可求得|

|最小时对应的向量.点评:本题考查三角函数中的恒等变换,考查正弦函数的最小正周期、单调区间、最值及对称中心,熟练掌握正弦函数的性质是解决问题的基础,属于中档题.