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 栏目类别:学习方法 >> 高中 >> 数学

数列试题的解题方法和技巧

  学生们在高中的数学学习过程中如果能够充分掌握高中数学数列试题的解题方法和技巧,这对于在大学期间学习数学会有很大的帮助。在最近几年的数学高考中,数列知识点的考查已经成为高考出题人比较看重的一项考点,甚至有一部分拔高题也都和数列有着直接的关系。可是在高中数学的学习阶段,很多的学生对于高中数学数列试题的解题方法和技巧还非常欠缺,对有一些问题和内容并没有得到充分的理解和吸收,往往在解题过程中,出现这样那样的问题。所以,探索和研究不同类型数列的解题方法和技巧,能够帮助学生更好地学好高中的数学。

  高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧

  1.对数列概念的考查

  在高中数列试题中,有一些试题可以直接通过带入已学的通项公式或求和公式,就可以得到答案,面对这一种类型的试题,没有什么技巧而言,我们只需熟练掌握相关的数列公式即可。

  例如:在各项都为正数的等比数列{b}中,首项b1=3,b1+b2+b3=21,那么b3+b4+b5等于多少?

  解析:(1)本道试题主要是对正项数列的概念以及等比数列的通项公式和求和公式知识点的考查,考查学生对数列基础知识和基本运算的掌握能力。

  (2)本试题要求学生要熟练掌握老师在课堂上所教的通项公式和求和公式。

  (3)首先让我们来求公比,很明显q不等1,那么我们可以根据我们所学过的等比数列前项和公式,列出关于公比的方程,即3(1-q3)/(1-q)=21。

  对于这个方程,我们首先要选择其运算的方式,要求学生平时的练习过程中,要让学生能够熟练地将高次方程转化为低次方程进行运算。

  2.对数列性质的考察

  有些数列的试题中,经常会变换一些说法来考查学生对数列的基本性质的理解和掌握能力。

  例如:己知等差数列{xn},其中xl+x7=27,求x2+x3+x5+x6等于多少?

  解析:我们在课堂上学习过这样的公式:等差数列和等比数列中m+n=p+q,我们可以充分利用这一特性来解此题,即:

  xl+x7= x2+x6= x3+x5=27,

  因此,x2+x3+x5+x6=(x2+x6)+(x3+x5)=27+27=54

  这种类型的数列试题要求教师在课堂教学中,对数列的性质竟详细讲解,仔细推导。使得学生能够真正的理解数列性质的来源。

  3.对求通项公式的考察

  ①利用等差、等比数列的通项公式,求通项公式

  ②利用关系an={S1,n=1;Sn-Sn-1,n≥2}求通项公式

  ③利用叠加、叠乘法求通项公式

  ④利用数学归纳法求通项公式

  ⑤利用构造法求通项公式.

  4.求前n项和的一些方法

  在最近几年的数学高考试题中,数列通项公式和数列求和这两个知识点是每年必考的,因此,在高中数学数列的课堂教学中,教师要对数列求和通项公式这方面的知识点进行细致重点的讲解。数列求和的主要解题方法有错位相减法、分组求和法与合并求和法,下面对三种数列求和的解题方法进行详细说明。

  (1)错位相减法

  错位相减法主要应用于等比数列的求和中,在最近几年的高考试题当中,以此方法来求解数列求和的试题经常会有所体现。这一类型的试题解题方法主要是运用于诸如{等差数列·等比数列}数列前n项和的求和中。

  例如:已知{xn}是等差数列,其前n项和是Sn,{yn}是等比数列,且x1=y1=2, x4+y4=27, S4-y4=10,求(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;(2)Tn= xny1+xn-1y2+…+x1yn,n∈N*证明Tn+12=-2xn+10yn,n∈N*

  解析:(1)xn=3n-1,yn=2n;

  (2)Tn= 2xn+22xn-1+23xn-2+…+2nx1,

  2Tn= 22xn+23xn-1+…+2nx2+2n+1x1

  计算得,Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+…+3×2n+2n+1=12(1-2n+1)/(1-2+2n+2-6n+2)=10×2n-6n-10

  -2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10

  所以,Tn+12=-2xn+10yn,n∈N*

  错位相减法主要应用于形如an=bncn,即等差数列·等比数列,这样的数列求和试题运算中,解此类题的技巧是:首先分别列出等差数列和等比数列的前n的和,即Sn,然后再分别将Sn的两侧同时乘以等比数列的公比q,得出qSn;最后错一位,再将两边的式子进行相减就可以了。

  (2)分组法求和

  在高中数列的试题当中,往往会遇到一部分没有规律的数列试题,它们初看上去既不属于等差数列也不属于等比数列,但是如果将此类型的数列进行拆分,就可以得到我们所了解的等差数列和等比数列,遇到此类型的数列试题,我们就可以通过分组法求和的方法进行解题,首先将数列进行拆分,通过得到的等差数列和等比数列进行运算,最后将其结合在一起得出试题的答案。

  (3)合并法求和

  在高考数列的试题中,往往会遇到一些非常特殊的题型,它们初看上去没有规律可循,但是通过合并和拆分,就可以找出它们的特殊性质。这就要求我们教师平时要锻炼学生对数列的合并能力,通过合并找出规律,最终成功地解决这类特殊数列的求和问题。

  结束语

  数列知识是各种数学知识的连接点,在数学考试中,往往是基于数列知识为基础,对学生的综合数学知识进行考查。在高中数列学习过程中,首先要做好数列基本概念和基本性质的掌握,否则任何解题技巧都无济于事。

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