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矩阵与变换

  矩阵的定义:

  由m×n个数排成的m行n列的表

    

  称为m行n列矩阵(matrix),简称m×n矩阵。

  特殊形式矩阵:

  (1)n阶方阵:在矩阵中,当m=n时,A称为n阶方阵;

  (2)行矩阵:只有一行的矩阵叫做行矩阵;

  列矩阵:只有一列的矩阵,叫做列矩阵;

  (3)零矩阵:元素都是零的矩阵称作零矩阵。

  二阶矩阵与平面图形的变换:

  (1)二阶矩阵的定义:由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵;

  (2)几种特殊线性变换:主要有旋转变换、反射变换、伸压变换、投影变换、切变变换这几种。求经矩阵变换后的解析式常采用数形结合的方法,先观察是属于哪一种变换,然后利用解析几何中的相关点法(转移代入法)来解。

  矩阵的运算律:

  (1)矩阵的和(差):当两个矩阵A、B的维数相同时,将它们各位置上的元素加(减)所得到的矩阵称为矩阵A、B的和(差),记作:

  运算律:加法运算律:

  加法结合律:

  (2)数乘矩阵:矩阵与实数的积:设为任意实数,把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵,记作:

  运算律:

  分配律:

  结合律:

  (3)矩阵的乘积:一般地,设A是m×k阶矩阵,B是k×n阶矩阵,设C为m×n矩阵,如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积,那么矩阵C叫做A与B的乘积,记作:C=AB。

  运算律:

  分配律:

  结合律:

  注:(1)交换律不成立,即:AB≠BA;(2)只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时,矩阵之积才有意义。

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