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二项式定理与性质

  二项式定理:

  

  它共有n+1项,其中(r=0,1,2…n)叫做二项式系数,叫做二项式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项.

  二项式系数的性质:

  (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即

  (2)增减性与最大值:当时,二项式系数的值逐渐增大;当时,的值逐渐减小,且在中间取得最大值。

  当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。

  二项式定理的特别提醒:

  ①的二项展开式中有(n+1)项,比二项式的次数大1.

  ②二项式系数都是组合数,它与二项展开式的系数是两个不同的概念,在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

  ③二项式定理形式上的特点:

  在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,a的次数由n逐项减小1,直到0,同时字母6按升幂排列,次数由0逐项增加1,直到n,并且形式不能乱.

  ④二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即的展开式是有区别的,二者的展开式中的项的排列次序是不同的,注意不要混淆.

  ⑤二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,该等式都成立,因而,对a,b取不同的特殊值,可以对某些问题的求解提供方便,二项式定理通常有如下两种情形:

   

  ⑥对二项式定理还可以逆用,即用于式子的化简。

  二项式定理常见的利用:

  方法1:利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法:

  (1)用二项式定理证明组合数不等式时,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等式证明的方法进行论证.

  (2)运用时应注意巧妙地构造二项式.证明不等式时,应注意运用放缩法,即对结论不构成影响的若干项可以去掉.

  方法2:利用二项式定理证明整除问题或求余数:

  (1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是要巧妙地构造二项式,其基本做法是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.

  (2)用二项式定理处理整除问题时,通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了.

  (3)要注意余数的范围,为余数,b∈[0,r),r是除数,利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数要注意转换.

  方法3:利用二项式进行近似解:

  当a的绝对值与1相比很少且n不大时,常用近似公式,因为这时展开式的后面部分很小,可以忽略不计,类似地,有但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求.要根据要求选取展开式中保留的项,以最后一项小数位超要求即可,少了不合要求,多了无用且增加麻烦.

  方法4:求展开式特定项:

  (1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求,以确定公式中r的取值或范围.

  (2)要正确区分二项式系数与展开式系数,对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题,要注意系数的正负.

  方法5:复制法

  利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地,对于多项式

    

  方法6:多项式的展开式问题:

  对于多项式(a+b+c)n,我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式,再利用二项式定理,求解有关问题。

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