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分步乘法计数原理

  分步原理:

  完成一件事,需要n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2…mn不同的方法。

  注:一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事。各步是关联的。

  两种典型现象:

  Ⅰ.涂颜色

  (1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块;

  (2)立体图涂颜色:先涂具有同一顶点的几个平面,其他平面每步涂法分类列举。

  Ⅱ.映射

  按步骤用A集合的每一个元素到B集合里选一个元素,可以重复选。

  分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系:

  (1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题,都是计数的方法问题,二者的区别在于:分类加法计数原理针对的是分类问题,其各种方法之间是相互独立的,其中的任何一种方法都可以单独完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是分步问题,各个步骤之间相互依存,只有各个步骤都完成,才算完成这件事,单独的一步或几步不能完成这件事.(2)两个计数原理的区别在于分类加法计数原理每次得到的都是最后结果,而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果,可以用下表表示:

  计数原理的选择:

  如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类加法计数原理;如果完成一件事情要分成n个步骤,各个步骤都是不可或缺的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事情,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数,就用分步乘法计数原理,从思想方法的角度看,分类加法汁数原理是将问题进行,分步乘法计数原理是将问题进行,这两种思想方法贯穿解决本章应用问题的始终.

  分步乘法计数原理的特点:

  分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中,每一步中都要使用一种方法才能完成要做的事情,可利用图形来表示分步乘法计数原理,图中的去强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情,从而共有种不同的方法可以完成这件事.

  分步的原则:

  应用分步乘法计数原理解题时要注意以下几点:

  ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事,单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事,也就是说,是否必须经过几步才能完成这件事;

  ②完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任何一步,这件事就不可能完成;

  ③根据题意,正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这n个步骤逐步地去做,才能完成这件事,各个步骤之中既不能重复也不能有遗漏.

  分类加法计数原理的应用:

  根据已知条件确定好分类标准后,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即,是确定的,可相加的.在解题时,应首先分清楚怎样才算完成这件事,完成这件事有n类途径、手段、方法等,其中的每一种都可以独立完成这件事.

  分步乘法计数原理的应用:

  应用分步乘法计数原理时,关键是确定分步的步骤,必须是连续做完几步,要不漏不重步,还要保证每个步骤之间是无关的.

  两个原理的综合应用:

  两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析-----需要分类还是需要分步。

  分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数。

  分步要做到“分步完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.

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