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相似三角形的判定及有关性质

  相似三角形的定义:

  对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。

  预备定理:

  平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似

  判定定理1:

  对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。

  判定定理2:

  对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

  判定定理3:

  对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。

  引理:

  如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

  直角三角形相似定理:

  (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;

  (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。

  (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

  相似三角形的性质 :

  (1)相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比;

  (2)相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方;

  (3)相似三角形对应角相等,对应边成比例;

  (4)相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆或内切圆的面积等于相似比的平方。

  相似三角形的判定方法 :

  由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑6个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法:

  (1)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;

  (2)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;

  (3)如果一个三角形的两个角和另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

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