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双曲线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)

  双曲线的离心率的定义:

  (1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.

  (2)e的范围:e>l.

  (3)e的含义:e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.

      

  渐近线与实轴的夹角也增大。

  双曲线的性质:

  1、焦点在x轴上:顶点:(a,0),(-a,0);焦点:(c,0),(-c,0);

  渐近线方程:

  2、焦点在y轴上:顶点:(0,-a),(0,a);焦点:(0,c),(0,-c);

  渐近线方程:

  3、轴:x、y为对称轴,实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c。

  4、离心率

  5、中,取值范围:x≤-a或x≥a,y∈R,对称轴是坐标轴,对称中心是原点。

  双曲线的焦半径:

  双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径,分别记作

    

  关于双曲线的几个重要结论:

  (1)弦长公式(与椭圆弦长公式相同).

  (2)焦点三角形:已知的两个焦点,P为双曲线上一点(异于顶点),的面积为

  在解决与焦点三角形有关的问题时,应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用,还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题.

  (3)基础三角形:如图所示,△AOB中,

     

  (4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长.

  (5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线,垂足必在相应的准线上,即过焦点所作的渐近线的垂线,渐近线及相应准线三线共点.

  (6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切.

  (7)双曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程是

  (8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有:P(x0,y0)在双曲线内部(与焦点共区域), P(x0,y0)在双曲线外部(与焦点不其区域)

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