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直线与圆的位置关系

  直线与圆的位置关系:

  由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系:

  (1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线。

  (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。

  (3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

  其图像如下:

  直线和圆的位置关系的性质:

  (1)直线l和⊙O相交d<r

  (2)直线l和⊙O相切d=r;

  (3)直线l和⊙O相离d>r。

  直线与圆位置关系的判定方法:

  (1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系,可由

    

  推出mx2+nx+p=0,利用判别式△进行判断.

  △>0则直线与圆相交;

  △=0则直线与圆相切;

  △<0则直线与圆相离.

  (2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆,圆心到直线的距离

  d<r则直线和圆相交;

  d=r则直线和圆相切;

  d>r则直线和圆相离.

  特别提醒:

  (1)上述两种方法,以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷,而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断.

  (2)直线与圆相交,应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形,可使解法简单.

  直线与圆位置关系的判定方法列表如下:

    

  直线与圆相交的弦长公式:

  (1)几何法:如图所示,直线l与圆C相交于A、B两点,线段AB的长即为l与圆相交的弦长。

  设弦心距为d,半径为r,弦为AB,则有|AB|=

    

  (2)代数法:直线l与圆交于直线l的斜率为k,则有

  当直线AB的倾斜角为直角,即斜率不存在时,|AB|=

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