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因式分解

  定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。

  它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

  因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。

  注意四原则:

  1.分解要彻底(是否有公因式,是否可用公式)

  2.最后结果只有小括号

  3.最后结果中多项式首项系数为正(例如:)不一定首项一定为正。

  因式分解中的四个注意:

  ①首项有负常提负,

  ②各项有“公”先提“公”,

  ③某项提出莫漏1,

  ④括号里面分到“底”。

  现举下例,可供参考。

  例:

  把-a2-b2+2ab+4分解因式。

  解:-a2-b2+2ab+4

  =-(a2-2ab+b2-4)

  =-[(a-b)2-4]

  =-(a-b+2)(a-b-2)

  这里的“负”,指“负号”。

  如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;

  这里的“公”指“公因式”。

  如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;

  这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。

  分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。

  其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

  在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!

  由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。

  分解步骤:

  ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;

  ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;

  ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解

  ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

  也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”

  分解因式技巧掌握:

  ①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式

  ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示

  ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数

  ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

  注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

  主要方法:

  1.提取公因式法:

  如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

  提公因式法基本步骤:

  (1)找出公因式

  (2)提公因式并确定另一个因式:

  ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

  ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式

  ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。

  2.公式法:

  把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:

  平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);

  完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2

  立方差公式:

  3.分组分解法:

  利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)

  其原则:

  ①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。

  ②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。

  4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。

  5.解方程法:

  通过解方程来进行因式分解,如

  x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)

  6.待定系数法:

  首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

  例:

  分解因式x -x -5x -6x-4

  分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。

  解:

  设x -x -5x -6x-4

  =(x +ax+b)(x +cx+d)

  = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

  所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4

  则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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