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鸡兔同笼

  鸡兔同笼:

  是我国古代著名趣题之一,记载于《孙子算经》之中。鸡兔同笼问题,是小学奥数的常见题型。

  是指已知鸡与兔的总头数和总足数,求鸡和兔各是多少只的应用题。解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。

  即假设全是鸡或是全是兔,然后根据出现的足数差,推算出鸡或兔的只数。最后求出另一种动物(鸡或兔)的只数。

  基本数量关系式,可分两个方面:

  ①假设全是鸡,则有:兔的只数=(总足数-2×总头数)÷2;鸡的只数=总头数-兔子只数。

  ②假设全是兔,则有:鸡的只数=(4×总头数-总足数)÷2;兔的只数=总头数-鸡的只数。鸡兔同笼公式:

  公式1:

  (兔的脚数×总只数-总脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=鸡的只数

  总只数-鸡的只数=兔的只数

  公式2:

  (总脚数-鸡的脚数×总只数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数

  总只数-兔的只数=鸡的只数

  公式3:

  总脚数÷2—总头数=兔的只数

  总只数—兔的只数=鸡的只数

  公式4:

  鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数)÷2兔的只数=鸡兔

  总只数-鸡的只数

  公式5:

  兔总只数=(鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数)÷2鸡的只数=鸡兔

  总只数-兔总只数

  公式6:

  (头数x4-实际脚数)÷2=鸡

  公式7 :

  4×+2(总数-x)=总脚数(x=兔,总数-x=鸡数,用于方程)

  例1 、(古典题)鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?

  分析 如果 46只都是兔,一共应有 4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。

  解:

  ①鸡有多少只?

  (4×6-128)÷(4-2)

  =(184-128)÷2

  =56÷2

  =28(只)

  ②免有多少只?

  46-28=18(只)

  答:鸡有28只,免有18只。

  这道题的解题思路:先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡。我们称这种解题方法为假设法。

  解鸡兔同笼问题的基本关系式是:

  鸡数=(每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)

  兔数=鸡兔总数-鸡数

  当然,也可以先假设全是鸡。

  例2 、鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

  分析 这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?

  假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80(只)。

  解:(2×100-80)÷(2+4)=20(只)。

  100-20=80(只)。

  答:鸡与兔分别有80只和20只。

  常见思想:

  中国古代:

  孙子的解法“上置三十五头,下置九十四足。半其足得四十七。以少减多,再命之,上三除下四,上五除下七。下有一除上三,下有二除上五,即得”。

  翻译成算术方法就是:

  兔数(94÷2)-35=12

  鸡数35-12=23

  这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。

  美国数学家

  美国杰出数学教育家G ?波利亚对这种解法创设了教学情景:意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式,每一只鸡都用一条腿站着,而每一只兔子都用其(两条)后腿站着,在这个不寻常的情况下,只用了半数的腿,即47条腿。在70这个数目中,鸡的头只计算了一次,而兔子的头则计算了两次,从47这个数减去所有头数35,就剩下兔子的头数了。当然,鸡的只数可立刻求出。

  这种解法是巧妙的,但它需要清晰地掌握题中的数量关系,不是所有学生都能理解的。

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