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分式求值的“10”个常用技巧

  分式求值是分式运算中的一类常见问题,对计算能力的要求较高.在求解此类问题时,既要注意基本法则的应用,也要掌握相关的解题技巧.下面举例说明.

  一、整体通分

  例1:计算x2+x+1-.

  分析:把(x2+x+1)看成一个整体,对式子进行通分,并且分子还可利用乘法公式简化运算.

  解:原式 =-==-.

  二、部分通分

  例2:计算 ---.

  分析:按照常规解法是把四个分母一起通分,这样求解过于繁琐.若选择前面两个分式通分,然后再逐个通分,这样便化繁琐为简单.

  解:原式=--

  =-=-.

  三、取倒数

  例3:已知=1,求x+的值.

  分析:根据已知分式的特点,运用取倒数的方法是解决这类问题的常用方法.

  解:把=1两边取倒数,得=1,

  即x-3+=1,所以x+=4.

  四、整体代入

  例4:已知-=,则的值是( ).

  A. B. - C. 2 D. -2

  分析:将已知等式变形,转化为含有ab、(a-b)的代数式,整体代入求解.

  解:将已知条件通分合并得=,所以ab=2×(b-a)=-2(a-b),则==-2.故答案选D.

  五、特值思想

  例5:已知-=1,则的值是( ).

  A. B. - C. 1 D. -1

  分析:本题从不同的角度来思考,可以得到不同解法,但用特值思想求解最简捷.

  解:取b = 1,则a=,代入得,原式 =-1,故答案选D.

  六、因式分解

  例6:计算+.

  分析:通过观察发现,每个分式的分子、分母均可进行因式分解,因此可将每个分式先因式分解,约分后,再进行计算.

  解:原式 =+

  =+

  ==

  七、巧用拼凑

  例7:化简.

  分析:观察分式不难发现,其中的常数3给该分式的运算带来了不便.为此可设法将3巧妙拼凑成与a、b、c有关的式子,这样很容易想到3=++.

  解:原式=+

  =+

  =

  =++.

  八、善于裂项

  例8:计算

  +++.

  分析:用常规解法进行计算显然会非常麻烦,仔细观察可发现,每个分母都可以分解为两个一次因式的积,例如x2 + x = x(x+1),且=-.

  解:原式 =(-)+( - )+

  (-)+(-)

  =-

  =.

  九、活用公式

  例9:计算

  (x+)(x2+)(x4+)(x8+)(x16+)(x2-1) .

  分析:直觉告诉我们,本题可以利用公式进行计算.如何利用公式呢?通过观察可知,只要在式子前添加(x-)这个因式,便可利用平方差公式,多次利用公式便可简捷获解.

  解:当x≠1时,

  原式=×

  =……

  =×

  =

  =x33-.

  当x=1时,该等式也成立.

  十、妙用换元

  例10:化简

  (x+)2-(x+-)2÷

  .

  分析:乍一看本题较繁琐,但仔细观察就会发现,它们都是x+、 x2+的形式,因为(x+)2=x2++2,为此可想到妙用换元,便可快速获解.

  解:设a=x+,

  则原式 =a2-(a-)2÷

  =a2-()2×

  =a2-(a2-a+1)

  =a2-a2+a-1

  =a-1

  =x+-1.

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