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 栏目类别:学习方法 >> 高中 >> 数学

高考数学题解法之数学思想指引

  数学思想是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识,是数学知识和方法产生的根本源泉,是解决数学问题过程中的指路明灯. 一道好的试题,不在于华丽的“包装”,而在于本身所蕴涵的思想方法.

  在数学的知识和技能中,蕴涵着具有普遍性的数学思想,它是数学的精髓和灵魂,是知识转化为能力的桥梁,是人们对数学事实与理论,经过高度提炼概括后产生的本质认识,是数学知识和方法产生的根本源泉,是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用,是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想,只有挖掘其中的思想,才能深入认识试题,透彻分析试题,顺利解答试题.本文就以2014年浙江数学高考文科卷第16题为例,浅谈在数学思想指引下的解法探究.

  试题呈现:已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是_______. (2014年浙江省数学高考文科试卷第16题)

  点评:此题虽小,却是亮点.看似平常,却是丰富多彩.入口宽,方法多,蕴涵着丰富的数学思想.

  探究视角1 构造思想方法的应用

  构造法是一种极其重要的数学思想方法,其本质特征是构造,通过观察、分析已知条件和需要解决的问题,联系已有的知识,构造出适当的数学式子或数学模型,来解决问题.

  1. 构造重要不等式

  x,y∈R,x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等.

  推论:x,y∈R,x2+y2≥,当且仅当x=y时取等.

  解法1:因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

  因为(b+c)2≤2(b2+c2),所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,

  所以-≤a≤,所以a的最大值是,当且仅当b=c时取等.

  解法2:因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以a2=1-(b2+c2)≤1-=1-,所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,当且仅当b=c时取等.

  解法3:因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

  所以bc==a2-. 因为b,c∈R,b2+c2≥2bc,

  所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,

  所以a的最大值是,当且仅当b=c时取等.

  2. 构造柯西不等式

  二维柯西不等式:任取实数x1,x2,y1,y2,(x21+x22)(y21+y22)≥(x1y1+x2y2)2,

  当且仅当xi=kyi(i=1,2)时取等.

  解法4:因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2.

  由柯西不等式可得(b2+c2)(12+12)≥(b+c)2,所以a2≤2-2a2,所以3a2≤2,所以-≤a≤,所以a的最大值是,当且仅当b=c时取等.

  探究视角2 函数与方程思想方法的应用

  函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手,用数学语言问题中的条件转化为数学模型,如方程、不等式、方程与不等式组等,然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.

  解法5:(构造方程)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,所以bc==a2-,所以b,c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在(-1,1)上的实根.

  所以Δ=a2-4a2-≥0,1+a+a2->0,1-a+a2->0,-1<-<1,

  所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

  点评:此法是将已知条件转化为一元二次方程,常用判别式来探求根的情况,但要注意根的分布.

  解法6:(消元,减少变量)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以c= -(a+b).

  所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以ab+bc+ac=-.

  消掉c得,a2+b2+ab-=0.

  解法7:(增量换元,构造函数)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2.

  所以令b=-+x,c=--x,x∈R,则-+x+--x=1-a2,x∈R.所以a2=(1-2x2),x∈R,所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

  解法8:(三角换元)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,b=sinθ,c=cosθ,则-a=b+c=(sinθ+cosθ)=·sinθ+.

  所以sinθ+= ,所以≤1.

  所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

  点评:换元法又称辅助元素法、变量代换法,即通过引进新的变量,可以将分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,从而将复杂的计算和证明简化.

  探究视角3 数学结合思想

  华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观,形少数时难入微.” 数形结合是一种重要的数学思想,运用时关键在于数形相互转化,即用代数方法处理几何问题,或通过构图解决代数问题,数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识,而且能培养学生的创新思维.

  解法9:(坐标思想,直线与圆的位置关系)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以b+c=-a,b2+c2=1-a2,

  所以点(b,c)在以原点为圆心,为半径的圆上,同时又在直线b+c+a=0上,则由直线与圆的位置关系可得:圆心距d=≤.

  所以a2≤,所以-≤a≤,所以a的最大值是.

  解法10:(构造三角形,利用正余弦定理来解三角形)

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,所以c= -(a+b),

  所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),所以ab+bc+ac=-

  消掉c得,a2+b2+ab-=0?圯a2+b2-=-ab. 以a,b,为边构造三角形,令其所对角分别为A,B,D,则由余弦定理可得,cosD==.

  (1)若ab>0,则cosD===-,则D=,在△ABD中由正弦定理可得,=,则a=sinA,A∈0,,0  (2)若ab<0,则cosD===,则D=,A+B=,在△ABD中由正弦定理可得,=,则a=sinA,A∈0,,0  由(1)(2)可得a的最大值是.

  探究视角4 特殊化思想的应用

  根据矛盾论的基本原理,我们在认识事物和解决问题的过程中,必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下,具体分析矛盾的特殊性.数学问题,特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中,若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构,则可避免烦琐的运算、作图和推理,得到意想不到的、新颖独特的最佳解法. 这种利用特殊因素,采取特殊方法,解决特殊问题的思维方法,我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中(尤其是选择题和填充题)都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.

  解法11:特殊值法

  因为a+b+c=0,a2+b2+c2=1,令b=c,则a=-2b,a2=1-2b2.

  所以消掉b得a2=1-2,所以a2=,所以a=±,

  所以a的最大值是.

  数学思想方法不是操作程序,没有具体的步骤,需要感悟、理解,但是,没有数学思想方法就找不到解题方向. 在上述解法探究中,要感悟试题中所蕴涵的数学思想,在上述四个视角中体现了构造思想、函数思想、方程思想、换元思想、数形结合思想、特殊化思想. 近年的高考越来越重视对数学思想方法的考查. 随着试题难度的上升,数学思想方法的作用会越来越重要.

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