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高考数学选择题的解题方法与技巧

  高考数学选择题占总分值的五分之二,其解答特点是“四选一”,怎样才能快速、准确、无误地选择好这个“一”呢?选择题和其它题型相比,解题思路和方法有着一定的区别,原因在于它有与其它题型明显不同的特点:①立意新颖、构思精巧、迷惑性强,题材内容相关相近、真假难分;②技巧性高、灵活性大、概念性强,题材内容多变、解法奇特;③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强.因此,只要抓住了选择题的如上特点,就能很好的完成选择题的解答.本文例析解答选择题的几种方法,以期对大家有所帮助.

  一、直接法

  直接从题目条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密推理和准确计算,从而得出正确结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目,常用此法.

  例1 关于函数f(x)=sin2x-(23)|x|+12,看下面四个结论: ①f(x)是奇函数;

  ②当x>2015时,f(x)>12恒成立; ③f(x)的最大值是32; ④f(x)的最小值是-12.

  其中正确结论的个数为( ).

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  解析 f(x)=sin2x-(23)|x|+12=1-cos2x2-(23)|x|+12=1-12cos2x-(23)|x|

  ∴f(x)为偶函数,①错.∵当x=1000π时,x>2015, sin21000π=0,

  ∴f(1000π)=12-(23)1000π<12,②错.又∵-1≤cos2x≤1,∴12≤1-12cos2x≤32,从而1-12cos2x-(23)|x|<32,③错.又∵sin2x≥0,-(23)|x|≥-1,∴f(x) ≥-12,

  当且仅当x=0时等号成立,可知④正确.故应选A.

  题后反思 直接法是解答选择题最常用的基本方法,中、低档选择题可用此法迅速求解,直接法运用的范围很广,只要运算正确必能得到正确答案.

  二、特例法

  也称特值法、特形法,就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理,从而得到正确选项的方法,常用的特例法有特殊的数值、数列、函数、图形、角、位置等.

  例2 设函数f(x)=2-x-1,x≤0

  x(1/2),x>0,若f(x0)>1,则x0的取值范围为( ).

  A.(-1,1) B.(-1,+∞)

  C.(-∞,-2)∪(0,+∞)

  D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

  解析 ∵f(12)=22<1, ∴12不符合题意,∴排除选项A、B、C,故应选D.

  图1例3 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图1所示,则b的取值范围是( ).

  A.(-∞,0) B.(0,1)

  C.(1,2) D.(2, +∞)

  解析 设函数f(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x.此时a=1, b=-3, c=2, d=0. 故应选A.

  题后反思 这类题目若是脚踏实地来求解,不仅运算量大,而且很容易出错,但通过选择特殊值进行运算,则既快又准.当然,所选值必须满足已知条件.

  三、排除法

  排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提条件是答案唯一,具体做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”,将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论.

  例4 直线ax-y+b=0与圆x2+y2-2ax+2by=0的图像可能是( ).

  解析 由圆的方程知圆必过原点,∴排除A、C选项.因圆心为(a,-b),由B、D两图中的圆可知a>0,-b>0.而直线方程可化为y=ax+b,故应选B.

  题后反思 用排除法解选择题的一般规律是:①对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用排除法,能剔除几个就先剔除几个;②允许使用题干中的部分条件淘汰选择支;③如果选择支中存在等效命题,因答案唯一,故等效命题应该同时排除;④如果选择支存在两个相反的或互不相容的,则其中至少有一个是假的;⑤如果选择支之间存在包含关系,须据题意定结论.

  四、验证法

  又叫代入法,就是将各个选择支分别代入条件去验证命题,能使命题成立的就是应选答案.

  例5 在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立”的只有( ).

  A.f(x)=1x B.f(x)=|x|

  C.f(x)=2x D. f(x)=x2

  解析 当f(x)=1x时,|f(x1)-f(x2)||x1-x2|=1|x1x2|<1. ∴|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|恒成立. 故选A.

  例6 若圆x2+y2=r2 (r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是( ).

  A.[4,6] B.[4,6) C.(4,6] D.(4,6)

  解析 圆心到直线4x-3y+25=0的距离为5,则当r=4时,圆上只有一个点到直线的距离为1,当r=6时,圆上有三个点到直线的距离等于1,故应选D.

  题后反思 代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题,这里把选项代入验证,若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了,大大提高了解题速度.

  五、数形结合法

  “数缺形时少直观,形少数时难入微”,对于一些具体几何背景的数学题,如能构造出与之相应的图形进行分析,则能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法.

  例7 若函数y=f(x) (x∈R)满足f(x+2)=f(x), 且x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x) (x∈R)的图像与函数y=log3|x|的图像的交点个数为( ).

  A.2 B.3 C.4 D.无数个

  图2解析 如图2,在同一直角坐标系中,做出函数y=f(x)及y=log3|x|的图像,由图像可得其交点的个数为4个,故选C.

  例8 设函数f(x)=2-x-1,x≤0,

  x1/2,x>0.若f(x0)>1,则x0的取值范围为( ).

  A.(-1,1)

  B. (-∞,-2)∪(0,+∞)

  C.(-1,+∞)

  D. (-∞,-1)∪(1,+∞)

  图3解析 如图3,在同一直角坐标系中,做出题设函数f(x) 和直线y=1的图像,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,则要使f(x0)>1,只要x0<-1或x0>1. 故选D.

  题后反思 这种数形结合的解题策略,在解答有些选择题时非常简便有效,但一定要熟悉有关函数图像、方程曲线、几何图形等,否则错误的图像反会导致错选.

  六、逻辑分析法

  分析法就是根据结论的要求,通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件,发现规律,从而做出正确判断的一种方法.分析法可分为定性分析法和定量分析法.

  例9 若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是( ).

  A.(0,12) B.(0, 12]

  C.(12,+∞) D.(0, +∞)

  解析 要使f(x)>0成立,只要2a和x+1同时大于1或同时小于1成立,

  当x∈(-1,0)时,x+1∈(0,1),则2a∈(0,1),故选A.

  题后反思 分析法对能力要求较高,在解题过程中须保持平和心态,仔细分析,认真验证.

  七、极端值法

  从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极端值法解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低难度,优化解题过程.

  例10 对任意θ∈(0,π2),都有( ).

  A.sin(sinθ)  B.sin(sinθ)>cosθ>cosθ(cosθ)

  C.sin(cosθ)  D.sin(cosθ)  解析 当θ→0时,sin(sinθ)→0, cosθ→1,cosθ(cosθ)→cos1, 故排除A、B;当θ→π2, cos(sinθ)→cos1, cosθ→0, 故排除C, ∴选D.

  例11 设a=sinα+cosα, b=sinβ+cosβ,且0<α<β<π4, 则( ).

  A.a  B.a  C.a  D.a2+b22  解析 ∵0<α<β<π4,若令α→0,则a→1,b→2,a2+b22→32,易知:1<1.5<2<1.5.∴应选A.

  题后反思 有一类比较大小的问题,使用常规方法难以奏效(或过于繁杂),又无特殊值可取,在这种情况下,取极限往往会收到意想不到的效果.

  八、估值法

  由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程,因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案,这样往往可以减少运算量,避免“小题大做”.

  图4例12 如图4,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=32,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为( ).

  A.92 B.5 C.6 D. 152

  解析 由已知条件可知,EF∥面ABCD,则F到平面ABCD的距离为2,∴VF-ABCD=13×32×2=6.而该多面体的体积必大于6,故选D.

  题后反思 有些问题,由于受条件限制,无法(有时也没有必要)进行正确的运算和判断,而又能依赖于估算,估算实质上是一种数字意义,它以正确的算理为基础,通过合理的观察、比较、判断、推理,从而做出正确的结论.估算省去了很多推导过程和复杂计算,节省了时间,显得快捷,其应用非常广泛,它是人们发现问题、研究问题和解决问题的一种重要方法.

  求解选择题的方法还有归纳推导法、割补法、无招胜有招等方法,限于篇幅,不再赘述.

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