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 栏目类别:学习方法 >> 高中 >> 数学

排列组合解题方法

  近年来,排列组合题在高考试题中占据较大比例,或单独命题,或与概率内容相结合,由于排列组合题抽象性较强,解题思路灵活,方法多样,切入点多,学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏、或重复的错误。因此,在高中数学排列组合教学过程中,教师要加强解题训练,引导学生熟练掌握和灵活运用解题技巧,使问题迎刃而解。

  1.相离问题插空法

  相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题,是解决排列组合问题的常见方法之一。它是指先把无位置要求,无条件限制的元素排列好,然后对有位置要求,受条件限制的元素进行整理,再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。

  例1  在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种?

  解析:该题若直接进行解答较为麻烦,此时可以借助相离问题插空法,可以使问题迎刃而解。先将原来的6个节目排列好,这时中间和两端有7个空位,然后用一个节目去插7个空位,有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位,有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中,有A种方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法AAA=504种。

  例2  停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种?

  解析:先排好8辆车有A种方法,要求空位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个,将空位置插入其中有C种方法。故共有AC种方法。

  2.相邻问题捆绑法

  相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一,就是在解决对于某几个元素相邻问题时,将相邻元素作为整体加以考虑,视为一个“大”元素参与排序,然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。

  例3  有6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种?

  解析:由于甲、乙两人必须要排在一起,故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑,即将两人视为一人,再与其他四人进行全排列,则有A种排法,甲、乙两人之间有A种排法。由分步计数原则可知,共AA=240种不同排法。

  例4  6个球放进5个盒子,每个盒子都要放球,有多少种不同的方法?

  A. 3600    B. 1800    C. 360    D. 120

  解析:此题共6个球要分为5份,那么必有两个球在一起,所以从6球当中选择两球捆绑在一起的情况为C种,那么此时将捆绑的两球作为一个整体和另外4球进行全排列,则总的情况为CA=1800种。故选B.

  3.多元问题分类法

  多元问题分类主要用解决元素较多,情况多种时的排列组合问题。它是在弄清题意的基础上,按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑,分别计数,最后一一相加,进行总计。,

  例5  设集合I={1,2,3,4,5}。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法有多少种?

  A. 15       B. 39     C. 45    D. 49

  解析:若集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,则有:

  (1)从5个元素中选出2个元素,有C=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;

  (2)从5个元素中选出3个元素,有C=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;

  (3)从5个元素中选出4个元素,有C=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;

  (4)从5个元素中选出5个元素,有C=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;总计为:10+20+15+4=49种方法,故答案为D。

  4.特殊元素优先安排法

  特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中,应优先对特殊元素进行安排,再考虑其它元素。

  例6  用0,1,2,3,4这五个数组成没有重复数字的三位数,其中属于偶数的共有多少(C).

  A. 60     B. 40     C. 30     D. 24

  解析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数,又因为0不能排在首位,故0是其中“特殊元素”,应对其进行优选考虑。按0排在末尾和不排在末尾的情况可以分为两类,具体包括:

  (1)0排在末尾,有A种;(2)0不排在末尾时,先用偶数排个数,再排百位,最后排十位,有AAA种;由分类计数原理,共有偶数30种,故答案选C。

  5.顺序固定问题用“除法”

  在解决某些元素顺序一定的排列问题时,可先将这些顺序一定的元素与其他元素一起进行排列,然后再用总的排列数除以这些元素的全排列数。

  例7  有4名男生,3名女生。3名女生高矮互不等,将7名学生排成一行,要求从左至右,女生从矮到高排列,则共有多少种排法?

  解析:先在7个位置上作全排列,有A=5040种排法。其中3个女生因要求“从矮到高”依次进行排列,只有一种顺序,对应的排法为A=6种,所有共有A / A=A=840种。

  总之,排列组合问题解法灵活多样,思路多变,不拘一格,在平时排列组合教学中,教师要加强训练,引导学生正确掌握解题技巧,灵活运用解题方法,从而更加轻松地解决问题,提高解题能力。

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